O que são números?

Ao tentar definir a natureza da matemática, Frege primeiramente tentou responder à pergunta: “O que é um número?”. Dessa forma, Frege desenvolveu o seu sistema lógico com a finalidade de assentar a matematica em relações lógicas simples. Porém, como todos os termos que são definidos são definidos por meio de outros termos, é claro que o conhecimento humano deve sempre se contentar em aceitar alguns termos como inteligíveis e sem definição, de maneira a ter um ponto de parida para as suas definições.

No sistema de Frege, a noção aritmética de número foi substituída pelo conceito lógico primitivo de “conjunto”, sendo este, em um primeiro instante, sem definição formal. Entretanto, este conceito pode ficar um pouco mais intuitivo ao se apresentar alguns sinônimos de conjunto como: coleção, classe, agregado, múltiplo, etc.

 Assim sendo, um conjunto ou coleção pode ser definido a partir de duas maneiras diferentes. Pode-se enumerar os seus membros, por exemplo, quando alguém se refere à uma coleção da seguinte forma:

-“O grupo a que me refiro é constituído por Leonardo, Raphael, Donatello e Michelangelo.”

Ou pode-se definir um conjunto a partir de uma propriedade que todos os membros tenham em comum. Por exemplo:

-“O grupo a que me refiro é o das Tartarugas Ninjas.”

Ou até mesmo:

-“O grupo a que me refiro é o dos pintores renascentistas.”

A definição que enumera é chamada uma definição por “extensão” e a que menciona uma propriedade em comum é chamada de “intensão”. Destas duas maneiras diferentes de definir um conjunto, aquela por intensão é a mais fundamental pois uma definição extensional pode sempre ser reduzida à uma intensional, porém a recíproca não é verdadeira. Isto ocorre pois muitas vezes lidamos com conjuntos que é muito difícil considerar cada membro ou isto simplesmente não é possível.

É óbvio que, na prática, podemos frequentemente saber muito sobre um conjunto sem sermos capazes de enumerar os seus membros. De fato, nenhuma pessoa poderia enumerar todos os homens, ou todos os habitantes de São Paulo; no entanto, é possível saber muito sobre cada um destes conjuntos.

Quando se procura uma definição para número, todas estas observações são relevantes de três maneiras diferentes. Em primeiro lugar, os próprios números formam uma coleção infinita, e não podem, portanto, ser definidos por enumeração. Em segundo lugar, os conjuntos que tem um número definido de elementos formam eles próprios um conjunto infinito – por exemplo, há infinitas maneiras de definir qualquer trio no universo: três bananas, três frutas, três animais, três objetos, etc. E em último lugar, é desejável definir número de uma forma que a infinitude seja possível.