Ao se utilizar da linguagem matemática, Frege aplicou a
terminologia algébrica à expressões da linguagem comum e substituiu as noções
gramaticais de sujeito e predicado pelas noções matemáticas de argumento e de
função e, em vez de números, introduziu os valores de verdade como os possíveis
valores que as expressões podem assumir. Assim, "x é um homem" representa uma função que toma o
valor verdadeiro para o argumento "Sócrates" e o valor falso para o
argumento "Vênus", por exemplo.
A expressão que sempre introduz a frase, “para todo o x” -
representada em notação moderna por “∀x”
– significa, em termos fregianos, que o que lhe segue (“se x é um homem, x é
mortal”) é sempre verdadeira para qualquer argumento, pois sempre será verificada
as condições que o argumento satisfaz para que a proposição na sua totalidade
não se contradiga. Uma expressão deste tipo é chamada de quantificador. Em
particular, o quantificador apresentado foi o quantificador universal que é
representado por “∀”.
Além de "para todo x", o quantificador
universal, existe também o quantificador particular "para algum x"
– representado por “∃” que diz que o que se lhe segue é
verdadeiro para pelo menos algum argumento. Então, a proposição “alguns cisnes
são pretos” pode ser reescrita no dialeto fregiano como “para algum x, x é
um cisne e x é preto”. Uma maneira de se interpretar a
seguinte proposição é “existem coisas no universo que são cisnes pretos” e, na
verdade, Frege utilizou-se do quantificador particular para delimitar e
representar o significado de “existência”. Assim, utilizando-se de outro
exemplo, a proposição “Deus existe” pode ser reformulada como “para algum x, x
é Deus”.
A nova notação utilizada por Frege em seus quantificadores o
permitiu a formalizar de forma mais rigorosa e clara a teoria das inferências
do que a silogística aristotélica poderia em seu escopo. Depois de Frege, a
lógica formal podia, pela primeira vez, lidar com argumentos que envolviam
frases com quantificação múltipla, frases que eram, por assim dizer,
quantificadas em ambos os extremos, tais como "ninguém conhece toda a
gente" e "qualquer criança em idade escolar pode dominar qualquer
língua".
Entretanto, Frege não estava interessado na lógica pela lógica,
o que o motivou a desenvolver esta nova forma de lidar com a lógica era poder
possuir uma ferramenta auxiliar para lidar com questões da filosofia da
matemática. A grande questão, que acima de tudo, ele ansiava responder era:
será que as demonstrações da aritmética assentam na lógica pura, baseando-se
somente em leis gerais que permeiam todo o tipo de conhecimento que já foi e
irá ser produzido ou é necessário que esta precise do suporte de fatos
empíricos?
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