A maior contribuição de Frege para a lógica foi a sua
invenção da teoria da quantificação; isto é: um método para simbolizar e exibir
rigorosamente as inferências cuja validade depende de expressões como
"todos" ou "alguns", "qualquer" ou "cada
um", "nada" ou "nenhum". Este novo método
permitiu-lhe, entre outras coisas, reformular a silogística tradicional.
Observe que as seguintes inferências são similares:
· Todo
homem é mortal;
· Sócrates
é homem;
· Logo,
Sócrates é mortal.
· Se
Sócrates é um homem, Sócrates é mortal;
· Sócrates
é um homem;
· Logo,
Sócrates é mortal.
A segunda inferência é válida no cálculo proposicional.
Porém, nem sempre pode ser considerada uma tradução da primeira inferência, uma
vez que a sua primeira premissa parece afirmar algo acerca de Sócrates em
particular, de forma que se "Todos os homens são mortais" for
verdadeira, então
·
Se
x é um homem, x é mortal.
Será verdadeira independemente do nome que substituir a
variável “x”. Aliás, esta frase será verdadeira para qualquer coisa que
substituir “x”, sendo homem ou não, uma vez que se “x” não for homem a condição
do enunciado (“Se”) – que funciona como um filtro para tudo aquilo que não for
homem - ainda se verifica. Assim, pode-se exprimir o enunciado “Todos os homens
são mortais” da seguinte forma:
·
Para
todo o x, se x é homem, x é mortal.
Para realizar esta reformulação que constitui na base da
teoria da quantificação, Frege utilizou a terminologia da álgebra na lógica.
Pode-se dizer que uma expressão algébrica como “ x/2 + 1” representa uma função de “x”, o valor numérico que a expressão
adquirirá dependerá da substituição numérica que se fizer para a variável “x”,
ou, em termos técnicos, do argumento escolhido para a função. Assim, o valor da
função é 3 se o argumento for 4, e é 4 se o argumento for 6. Dessa forma, Frege
utilizou-se do ferramental matemático para formular e formalizar os argumentos,
não obstante, este procedimento também irá tangenciar questões da linguagem.
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